Open Space Lands Главная | Авто/Мото | Животные | Страны и города | Люди | Природа | Фильмы и ТВ | Еда | Игры | Техника | Разное |

На четирите цветни Теорема

История. На четирите цветни Проблемът датира от 1852, когато Франсис Guthrie, докато се опитва да оцветите карта на графства на Англия, забелязах, че четири цвята достатъчни. Той помоли брат си Фредерик, ако е вярно, че всяка карта може да бъде оцветена използват четири цвята по такъв начин, че съседните региони (т.е. тези, споделяне на общ сегмент границата не само на точка) получават различни цветове. Фредерик Гътри съобщени предположението на DeMorgan. Първо справка на хартиен носител поради Cayley през 1878 година. Една година по-късно се появи първото "доказателство" от Kempe си некоректност бе посочено от Heawood 11 години по-късно. Друг не е доказателство за това е поради Tait през 1880 г.; празнина в спора бе изтъкнато от Питърсън през 1891 г.. Двете провалени доказателства имат някаква стойност, все пак. Kempe открили това, което стана известно като Kempe вериги и Tait еквивалентна формулировка на четирите Теорема Цвят по отношение на 3-край оцветяване. Следващият основен принос имаха от Birkhoff чиято работа позволява Франклин през 1922 г., за да се докаже, че четирите цвят предположение е вярно за карти с най-много 25 региона. Беше използван и от други математици, за да се правят различни форми на напредък по четирите цвят проблем. Трябва да се споменава изрично Heesch, които са развили две основни съставки необходими за крайния доказателство - reducibility и разреждане. Въпреки, че концепцията на reducibility е изследвана от други изследователи, както и, изглежда, че идеята за изпълнение, от решаващо значение за избегнато част от доказателството, е поради Heesch, и че той беше този, който предположи, че подходящо развитие на този метод решаване на четирите Проблем Цвят. Това бе потвърдено от Appel и Haken през 1976 г., когато публикува тяхното доказване на четирите Теорема Цвят Защо е ново доказателство? Има две причини, поради Appel Haken доказателство не е напълно задоволително. Част на Appel Haken доказателство използва компютър и не може да се провери с ръка, и дори частта, която се предполага, че ръчно проверяване е изключително сложен и досаден, и доколкото ние знаем, никой не го проверява в своята цялост. Ние сме в действителност се опита да потвърди Appel Haken доказателство, но скоро се отказа. Проверка част на компютъра не само ще изисква много на програмирането, но също inputing описанията на 1476 графики, и че дори не е най-противоречивата част от доказателството. Ние решихме, че би било по-изгодно да работят нашата собствена доказателство. Така че сме направили и дойде с доказателство и алгоритъм, които са описани по-долу. Описание на доказателството. Основната идея на доказателството е същото като Appel и Haken. Демонстрират набор от 633 "конфигурации", и да докаже, всеки един от тях е "свежда". Това е техническо понятие, което означава, че не конфигурация с този имот може да се появи в минимална counterexample да теорема Цвят четири. Тя може да се използва в алгоритъма, ако свежда конфигурация се появява в планарна графика G, тогава може да се изгради за константно време по-малка равнинна графика G "са такива, че могат да бъдат превърнати в четири от четири оцветяване на G 'оцветяване на G в линейното време. Той е известен от 1913 г., че всеки минимален counterexample Цвят Четири теорема е вътрешно шест свързан триангулация. Във втората част на доказателството да докажем, че най-малко един от нашите 633 конфигурации се появява във всяко вътрешно шест свързан равнинна триангулация (не е задължително минимално counterexample на 4CT). Това се нарича доказване може да бъде избегнато, като използва "изпълнение метод", първо предложи от Heesch. Тук нашият метод се различава от тази на Appel и Haken. Основни характеристики на нашето доказателство. Ние потвърждават предположенията на Heesch, че при доказване може да бъде избегнато, свежда конфигурация може да бъде намерен във втория квартал "надвзети" връх, това е начинът да се избегне "потапяне" проблеми, които са основен източник на усложнения за Appel и Haken. Нашата неизбежно набор има размер 633, за разлика от член 1476, Appel и Haken и изпълнението на нашия метод използва само 32 изхвърлящи правила, вместо + 300 Appel и Haken. И накрая, ние получаваме квадратичен алгоритъм за четири цвята равнинни графики (описан по-късно), подобрение през quartic алгоритъм на Appel и Haken. Конфигурации. Почти триангулация е непразна свързани loopless графика равнина такава, че всеки регион ограничен е триъгълник. K конфигурация се състои от почти триангулация G и карта грама от V (G) на числа със следните свойства: 1) за всеки връх V, G \ V има най-много два компонента, и ако има два, след това степента на V е грам (V) -2, 2) за всеки връх V, ако V не е инцидент с безкрайната регион, а след това грам (V) се равнява на степента на V, а в противен случай грама (V) е по-голяма от степента на V и в двата случая грама (V)> 4 , 3) К има пръстен с размер най-малко две, когато се определя размера на пръстен-K да бъде сумата от грама (V) градуса (V) -1, обобщи над всички върхове инцидент V с безкрайна региона, че G \ V е свързан. При изготвянето на снимки конфигурации ние използваме конвенция, въведена от Heesch. Форми на върховете показват стойността на гр (V), както следва: Масивна черен кръг означава грама (V) = 5, точка (или това, което изглежда на снимката, тъй като не символ на всички) средства грама (V) = 6, кух кръг означава грама (V) = 7, карето означава грам (V) = 8, триъгълник означава грама (V) = 9 и петоъгълник означава грама (V) = 10. (Ние не се нуждаем върховете V с грам (V)> 11 и само един връх с грам (V) = 11, за които ние не използваме всеки специален символ.) В снимката по-долу 17 на 633 свежда конфигурации са показани използване на посочената конвенция. Целият комплект може да се разглежда като кликнете тук. (Ние се позоваваме на нашата хартия (3.2) [7] За смисъла на "дебели ръбове" и "половин ръбове" в тези снимки.) Всяка конфигурация изоморфен на един от 633 конфигурации, изложени в [7] се нарича добра конфигурация. Нека T триангулация. Конфигурация K = (G, ж) се появява в T, ако G е предизвикана от подграф на Т, всеки краен района на G е района на T, и грам (V) се равнява на степента на V в T за всеки връх V от G Ние доказваме следните две твърдения. ТЕОРЕМА 1. Ако T е минимална counterexample теорема Цвят четирите, тогава не е добра конфигурация се появява в T. ТЕОРЕМА 2. За всеки вътрешно шест свързан триангулация T, някои добра конфигурация се появява в T. От горните две теореми следва, че няма минимален counterexample съществува, и така 4CT е вярно. Първото доказателство се нуждае от компютър. Вторият може да се провери с ръка в рамките на няколко месеца, или с помощта на компютър, могат да бъдат проверени за около 20 минути. Разтоварване правила. Нека T вътрешно шест свързан триангулация. Първоначално всеки връх V е назначен такса в размер на 10 (6-о (V)). Това следва от формулата на Ойлер, че сумата на таксите на всички върхове е 120, по-специално, тя е положителна. Сега преразпределяне на такси, в съответствие със следните правила, както следва. Когато T има подграф изоморфен на една от графиките на фигурата по-долу отговаря на степента спецификации (връх V на правило със знак минус до V това означава, че степента на съответния връх на T е най-много стойност определен от формата на V, и аналогично за върховете със знак плюс до тях; равенство се изисква за върха с никакъв знак, до тях) такса в размер на един (два в случай на първото правило) трябва да се изпрати по протежение на ръба, обозначен със стрелка. Тази процедура определя нов набор от такси, с една и съща обща сума. Тъй като общата сума е положителен, е връх V T, чиято нова такса е положителен. Ние показваме, че добра конфигурация се появява във втория квартал на с. Ако степента на V е най-много шест или по-малко от 12, а след това може да се види доста лесно от пряк аргумент. За останалите случаи, обаче, доказателствата са много по-сложно. Ето защо, ние сме писмени доказателства във формален език, така че те могат да бъдат проверени с помощта на компютър. Всяка отделна стъпка от тези доказателства е човешко проверка, но самите доказателства не са наистина проверяване на ръка, защото от тяхната дължина. Указатели. Теоретичната част на нашата доказателство е описан в [7]. 10 страници Изследването е достъпна он-лайн. Компютърни данни и програми, които се използват, да се намира на анонимен сървър, FTP, но този сървър беше спряно. Същите файлове са вече на разположение от http://www.math.gatech.edu/~thomas/OLDFTP/four/ и може да бъде удобно гледани. Независим набор от програми е написана от Gasper Fijavz под ръководството на Bojan Mohar. Квадратичен алгоритъм. Въвеждане на алгоритъм ще бъде G равнина триангулация с N върховете. (Това е без загуба на, тъй като всяка равнинна графиката може да бъде триъгълновиден в линейното време). Изходът ще бъде оцветяване на върховете на G с четири цвята. Ако G има най-много четири върховете цвят от всеки връх различен цвят. В противен случай, ако G има връх х на степен к <5, C верига около него е "к-пръстен". Отиди на анализа по-долу к-пръстен. В противен случай G има минимална степен пет. За всеки връх изчисли заряда си, както е обяснено по-горе, и да намерят връх V на положителен заряд. От доказателството на Теорема 2 или добра конфигурация се появява във втория квартал на V (който случай може да се намери в линейното време), или к-пръстен нарушаване на определението за вътрешни шест връзка може да се намери в линейно време. В последния случай отидем в к-пръстен анализа по-долу, в първия случай ние прилагаме рекурсия до известна по-малка графика. Четири оцветяване на G може да бъде изработена от четири оцветяване на този по-малък графиката в линейното време. Като се има предвид, к-пръстен R нарушаване на определението за вътрешни шест връзка с процедура, разработена от Birkhoff може да се използва. Ние прилагаме рекурсия на две внимателно подбрани подграфи на Г. четири оцветяване на G могат да бъдат изградени от четири разцветки на две по-малки графики в линейното време. Дискусия. Ние трябва да споменем, че и двете програми използват само целочислена аритметика, и така че ние не трябва да се занимава с закръглят грешки и подобни опасности на аритметика с плаваща запетая. Въпреки това може да се направи, един аргумент, че нашата "доказателство" не е доказателство в традиционния смисъл на думата, тъй като тя съдържа стъпки, които никога не могат да бъдат проверени от хората. По-специално, ние не са доказали правилността на компилатора изготвя нашите програми, нито сме се оказа непогрешимостта на хардуера, ние се завтече нашите програми. Те трябва да бъдат взети на вяра, и евентуално да са източник на грешки. Въпреки това, от практическа гледна точка, шансът на компютърна грешка, която се появява постоянно по абсолютно един и същи начин на всички писти на нашите програми на всички компилатори под всички операционни системи, които нашите програми се движат по е безкрайно малък в сравнение с шанс на човешка грешка по време на една и съща сума на съдебна проверка. Отделно от тази хипотетична възможност на компютър, който постоянно дава грешен отговор, а останалата част на нашата доказателство могат да бъдат проверени по същия начин като традиционните математически доказателства. Ние признават обаче, че проверка на компютърна програма е много по-трудно, отколкото проверка на математически доказателства със същата дължина. Благодарности. Задължени сме на Томас Фаулър, Кристофър Карл Heckman и Барет стени за тяхната помощ с подготовката на тази страница. Нашата работа е частично подкрепено от Националната научна фондация. Позоваването.
  • K. Appel and W. Haken, Every planar map is four colorable. Part I. Discharging, Illinois J. Math. 21 (1977), 429-490.
  • K. Appel, W. Haken and J. Koch, Every planar map is four colorable. Part II. Reducibility, Illinois J. Math. 21 (1977), 491--567.
  • K. Appel and W. Haken, Every planar map is four colorable, Contemporary Math. 98 (1989).
  • G. D. Birkhoff, The reducibility of maps, Amer. J. Math. 35 (1913), 114-128.
  • H. Heesch, Untersuchungen zum Vierfarbenproblem, Hochschulskriptum 810/a/b, Bibliographisches Institut, Mannheim 1969.
  • A. B. Kempe, On the geographical problem of the four colors, Amer. J. Math., 2 (1879), 193-200.
  • N. Robertson, D. P. Sanders, P. D. Seymour and R. Thomas, The four colour theorem, J. Combin. Theory Ser. B. 70 (1997), 2-44.
  • N. Robertson, D. P. Sanders, P. D. Seymour and R. Thomas, A new proof of the four colour theoremElectron. Res. Announc. Amer. Math. Soc. 2 (1996), 17-25 (electronic).
  • T.L. Saaty, Thirteen colorful variations on Guthrie's four-color conjecture, Amer. Math. Monthly 79 (1972), 2-43.
  • T.L. Saaty and P. C. Kainen, The four-color problem. Assaults and conquest, Dover Publications, New York 1986.
  • P. G. Tait, Note on a theorem in geometry of position, Trans. Roy. Soc. Edinburgh 29 (1880), 657-660.
  • H. Whitney and W. T. Tutte, Kempe chains and the four colour problem'', in Studies in Graph Theory, Part II (ed. D. R. Fulkerson), Math. Assoc. of America, 1975, 378-413.
Перевод с http://people.math.gatech.edu/~thomas/FC/fourcolor.html На головну http://openspacelands.com
OpenSpaceLands